树状数组

树状数组

1.树状数组的结构

树状数组的结构很简单,但是蕴含的东西其实很巧妙,真的不仅感叹已一下,本文章仅仅讲述如何使用树状数组的基本操作,之后会研究树状数组产生的原理

如图所示的一样,C8是由A1,…,A8构成的,同理C1,…,C7都是这样,被一定的元素所构成

暂时不需要知道为啥是这样,先大致知道树状数组的结构就可以了

2.使用树状数组有什么用处

树状数组的用途是解决动态前缀和问题的数据结构

比如一个数组a1,…an

循环前k项和,修改ai等操作

显然暴力的时间复杂度是n ^ 2,而树状数组可以达到nlogn,其实是牺牲了部分空间和修改的时间,暴力修改的复杂度为O(1),而树状数组的修改也是logn的

3.查询前缀和操作

比如要查询前6项和

d[6] = a5 + a6(由上面的图可知,但是为什么是这样呢?)

这里仅仅告诉方法,而暂时不说原理:

  1. 将6转换成二进制110
  2. 末尾0的个数:1
  3. 则个数为2 ^ 1 = 2个数
  4. 从6向前推2个数,包括6即可

显然C6 = A5 + A6

那么知道C是如何得到的,那么我们考虑前缀和的查询操作:比如查询的是前13项和:

仅仅说一下方法:

  1. 将13转换成二进制:1101,d[13]
  2. 每次去掉最低位1:1100
  3. 算出此时的二进制对应的十进制即为所要加的内容,1100 -> d[12]
  4. 1000 -> d[8]
  5. 求和即可SUM(13) = d[13] + d[12] + d[8]

即查询13前缀和的时候,只需要查询logn个数即可

4.修改操作

同样的,每次加上最低位置的1即可

5.lowbit操作 – 获取最低位的1

比如x,怎么获取当前x的最低位1所对应的数字呢,比如1101,此时最低位1为0001,即为1,显然的,只需要用1101 & 0001即可,即:

最末尾1之前均为x对应位的取反,最末尾为1与原数字相与,可以联想一下补码的求法(因为补码就是前面取反最后一个1到最后不动),因此就是 x & (-x)

int lowbit(int x){
    return x & (-x);
}

6.查询,修改实现

const int maxn = 1e6 + 6;

int d[maxn], n;

int lowbit(int x){
    return x & (-x);
}

int query(int x){
    int ret = 0;
    while(x){
        ret += d[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ret;
}

void add(int x, int v){
    while(x <= n){
        d[x] += v;
        x += lowbit(x);
    }
}

7.构建树状数组

构建的方法很简单,只需要把d初始化为0,然后每次输入一个数字,就add(i, elem)即可

8.模板题:HUD 1166 敌兵布阵

模板题,直接代码实现一下

1)题目描述

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习,所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段,所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动,可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。 
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动,而Derek每次询问的段都不一样,所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数,很快就精疲力尽了,Derek对Tidy的计算速度越来越不满:”你个死肥仔,算得这么慢,我炒你鱿鱼!”Tidy想:“你自己来算算看,这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下,Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说:“死肥仔,叫你平时做多点acm题和看多点算法书,现在尝到苦果了吧!”Tidy说:”我知错了。。。”但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼,这么算他真的会崩溃的,聪明的读者,你能写个程序帮他完成这项工作吗?不过如果你的程序效率不够高的话,Tidy还是会受到Derek的责骂的. 
Input第一行一个整数T,表示有T组数据。 
每组数据第一行一个正整数N(N<=50000),表示敌人有N个工兵营地,接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人(1<=ai<=50)。 
接下来每行有一条命令,命令有4种形式: 
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人(j不超过30) 
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人(j不超过30); 
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j,表示询问第i到第j个营地的总人数; 
(4)End 表示结束,这条命令在每组数据最后出现; 
每组数据最多有40000条命令 
Output对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车, 
对于每个Query询问,输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。 

Sample Input

1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End 

Sample Output

Case 1:
6
33
59

2)代码实现

·不用scanf会T掉!~~~就算解除绑定也会T掉
//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 6;

int d[maxn], n;

int lowbit(int x){
    return x & (-x);
}

int query(int x){
    int ret = 0;
    while(x){
        ret += d[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ret;
}

void add(int x, int v){
    while(x <= n){
        d[x] += v;
        x += lowbit(x);
    }
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    int t;
    cin >> t;
    for(int it = 1;it <= t;++it){
        printf("Case %d:\n", it);
        cin >> n;
        memset(d, 0, sizeof d);
        for(int i = 1;i <= n;++i){
            int tmp;
            cin >> tmp;
            add(i, tmp);
        }
        string ml = "";
        while(cin >> ml){
            if(ml == "End") break;
            int pos, num;
            cin >> pos >> num;
            if(ml == "Add"){
                add(pos, num);
            }else if(ml == "Sub"){
                add(pos, -num);
            }else if(ml == "Query"){
                cout << query(num) - query(pos - 1) << endl;
            }
        }
    }

    return 0;
}
·AC代码
//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define sd(n) scanf("%d", &n)
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 6;

int d[maxn], n;

int lowbit(int x){
    return x & (-x);
}

int query(int x){
    int ret = 0;
    while(x){
        ret += d[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ret;
}

void add(int x, int v){
    while(x <= n){
        d[x] += v;
        x += lowbit(x);
    }
}

int main(){
    int t;
    sd(t);
    for(int it = 1;it <= t;++it){
        printf("Case %d:\n", it);
        sd(n);
        memset(d, 0, sizeof d);
        for(int i = 1;i <= n;++i){
            int tmp;
            sd(tmp);
            add(i, tmp);
        }
        string ml = "";
        while(cin >> ml){
            if(ml == "End") break;
            int pos, num;
            sd(pos), sd(num);
            if(ml == "Add"){
                add(pos, num);
            }else if(ml == "Sub"){
                add(pos, -num);
            }else if(ml == "Query"){
                cout << query(num) - query(pos - 1) << endl;
            }
        }
    }

    return 0;
}
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